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Podemos empezar mencionando varias condiciones de los que para nosotros es algo sumamente extraordinario y sorprendente.


• Numero de oro:

Estamos en el siglo VI antes de Cristo.
Pitágoras, huyendo de Polícrates, el tirano que reinaba en la isla griega de Samos, se establece en Crotona, Italia, y funda la "Hermandad Pitagórica", una escuela de filosofía y matemáticas, una especie de secta de la que él era el gran maestro.

Trataban de explicar la vida mediante números, de ahí que el principio básico de la hermandad fuera: "Todo es número". Se comunicaban mediante un símbolo secreto: la estrella de 5 puntas, que se obtiene trazando las diagonales de un pentágono regular.

Estudiándola descubrieron que, si divides en cualquier pentágono regular el valor de la diagonal entre el valor del lado, el número que obtienes es siempre el mismo, 1,61803.........................


Habían encontrado el número de oro, al que nosotros llamaremos Phi en honor al escultor Fidias, que tanto lo utilizó, y representaremos con la letra griega ø, la inicial del nombre de "Phidias" en griego.

Pero algo les desconcertó: hasta entonces, todos los números conocidos podían expresarse como un cociente entre dos números naturales, ese número no.

Era inexplicable para ellos, atentaba contra su propia concepción del mundo, así que incluso decidieron ocultarle a la sociedad que habían descubierto un nuevo tipo de números, los números irracionales

• Serie de Fibonacci

Una sucesión de Fibonacci es aquella cuya ley de recurrencia es:

an = an-1 + an-2
Es decir, cada término de la sucesión se obtiene sumando los dos anteriores. Para empezar a construirla necesitamos, por tanto, dos números de partida, a1 y a2. De esta forma, a3 sería a2 + a1; a4 sería a3 + a2 y así sucesivamente.

La más conocida es la que tiene a1 = 1 y a2 = 1, cuyos términos son:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 ...
Números que son conocidos como Números de Fibonacci.

Los términos de cualquier sucesión de Fibonacci tienen la particularidad de que el cociente entre dos términos consecutivos se aproxima al Número de Oro (1.6180339887499...), es decir, el límite de los cocientes an+1/an tiende al Número de Oro cuando n tiende a infinito.

Además, las series de Fibonacci cumplen otras curiosas propiedades, como por ejemplo, que la suma de n términos es igual al término n+2 menos uno:

a1 + a2 + a3 + a4 + ..... + an-1 + an = an+2 - 1

Otra forma de poder deducir esta serie es a través de números nominales. En la cual se el primer número es 1, el cual en nominal se traduce a 1/1.

Ahora para poder deducir el próximo número de la serie, se suman en numerador y denominador y el resultado de esta será el denominador del siguiente, y el denominador anterior se pasa como el numerador siguiente.

Así que por resultado el número siguiente sería: ½ . Y se continúa igual para sacar los próximos números, al llegar a 21/34 es cuando se llega al mismo número de oro.

• Sección Áurea

En 1497, un fraile italiano llamado Lucca Pacioli escribió un libro donde se reveló, por fin, el secreto de la belleza. Se titula De divina Proportione, y su tema central es lo que los escolares de nuestros días conocen como "regla de tres". Pacioli se inspiraba en las ideas de Piero della Francesca, un hombre que hoy conocemos a través de su obra pictórica, pero que en su tiempo era más conocido por ser el autor de De Abaco, un manual de matemática para comerciantes.

La regla de tres era una herramienta básica para los comerciantes del Quattrocento: servía para determinar las proporciones de capital, tierras, volumen de grano o cualquier otra clase de bienes que le correspondía a cada socio, heredero o copropietario ante un total determinado. Se la conocía entonces como regla de oro o llave del comerciante.

Una regla de tres famosa es la llamada Escala Armónica Pitagórica, que al modo renacentista se expresa: 6 8 9 12

Algunos arquitectos relacionaron la escala armónica pitagórica, utilizada para representar una escala musical, con el diseño visual modular o proporcional. Andrea Palladio dejó asentada una falacia de diseño según la cual los espacios pueden ser diseñados "musicalmente" de acuerdo con esta escala: como el intervalo entre 6 y 12 es de una octava, entre 6 y 9 y entre 8 y 12 es de una quinta, entre 6 y 8 y entre 9 y 12 de cuarta y entre 8 y 9 de un tono, si se organizaban las dimensiones de las habitaciones de un edificio siguiendo esta serie, entonces se estaría produciendo una armonía espacial de la misma clase que la que relaciona las notas musicales. La regla Áurea parecía una fórmula perfecta que relacionaba las artes de la música, la pintura y la arquitectura. Y además mantenía las buenas relaciones comerciales.

Cuando Lucca Pacioli escribió La Divina Proporción, lo que hizo fue tomar otro tipo de regla de tres, que, partiendo de una unidad arbitraria permitía la construcción de proporcionalidades tanto de múltiplos como de submúltiplos (intervalos mayores y menores). Los aficionados (en particular los fotógrafos, grandes entusiastas) conocen esta relación como sección áurea. Su expresión matemática es

a:b=b:a+b

Vitruvio ideó un sistema de cálculo matemático de la división pictórica, para seccionar los espacios en partes iguales y así conseguir una mejor composición. Se basa en el principio general de contemplar un espacio rectangular dividido, a grandes rasgos, en terceras partes, tanto vertical como horizontalmente. O, explicado de otra forma, bisecando un cuadro y usando la diagonal de una de sus mitades como radio para ampliar las dimensiones del cuadrado hasta convertirlo en "rectángulo áureo". Se llega a la proporción a: b = c: a. Al situar los elementos primordiales de diseño en una de estas líneas, se cobra conciencia del equilibrio creado entre estos elementos y el resto del diseño.

Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones.
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale 1+ 5 por lo que la proporción entre los dos lados es:
(1+ 5 ) /2

A este número se le llama número de oro, se representa por el símbolo Ø y su valor es 1,61803..., lo obtuvieron los griegos al hallar la relación entre la diagonal de un pentágono y el lado. El nombre de "número de oro" se debe a Leonardo da Vinci.


Una manera práctica de dibujar una espiral es mediante la construcción rectangular en las espirales de cuadrados; se trata de dibujar el cuadrante de un círculo en cada nuevo cuadrado que se añada.



• La divina proporción

Durante los últimos siglos, creció el mito de que los antiguos griegos estaban sujetos a una proporción numérica específica, esencial para sus ideales de belleza y geometría. Dicha proporción es conocida con los nombres de razón áurea ó divina proporción. Aunque recientes investigaciones revelan que no hay ninguna prueba que conecte esta proporción con la estética griega, esta sigue manteniendo un cierto atractivo como modelo de belleza.
Matemáticamente nace de plantear la siguiente proporcionalidad entre dos segmentos y que dice así: "Buscar dos segmentos tales que el cociente entre el segmento mayor y el menor sea igual al cociente que resulta entre la suma de los dos segmentos y el mayor"
Sean los segmentos:
A: el mayor y B el menor, entones planteando la ecuación es:
A/B =(A+B)/A
Cuando se resuelve se llega a una ecuación de 2do. grado que para obtener la solución hay que aplicar la resolvente cuadrática.
El valor numérico de esta razón, que se simboliza normalmente con la letra griega "fi" es:


Ahora por mencionar poco, todos estos datos terminan en lo mismo, en su aplicación, numerología, y demás, dejando fuera de dudas en que en verdad la naturaleza misma es sorprendente y más aun cuando nosotros nos introducimos un poco más a investigarla y dejarnos sorprender como aprender de ella.

CUBO MAGICO

El Cubo está formado a partir de 8 cubos más pequeños, por lo cual podemos decir que está construido mediante los sólidos platónicos, que posee número y formas iguales de caras.


Además contiene un orden geométrico el cual ayuda a generar la forma. Se puede observar que existen tratamientos en los vértices de los cubos haciendo la combinación de sólidos Platónicos y Arquimedianos.

Tiene también un tratamiento de color que lo hace más atractivo y articulaciones específicamente colocadas para generar movimiento y múltiples combinaciones.

TENSEGRITY 2

Así también construimos un segundo tensegrity por sencilla mención debido a su flexibilidad. Utilizando mondadientes y silicón como unión elástica entre ellos, formamos un pequeño el cual esta formado con pentágonos y triángulos, este se encuentra dentro de uno segundo el cual esta formado por triángulos, pentágonos y hexágonos. También ejemplo de sólidos arquimedianos

TENSEGRITY

El Tensegrity es una de las estructuras más peculiares e interesantes que existen. Definida como una Compresión Flotante, "Floating compression" recrea en 3 dimensiones.

Son estructuras a partir de la tensión entre piezas o partes.

Este tensegrity está formado por sólidos arquimedianos. Su definición nos indica que son semiregulares, esto es, formados por polígonos regulares de dos o más tipos.

Este cuenta con la combinación de triángulos y pentágonos que son construidos a partir de palos de madera con ranuras en los extremos donde las ligas se sujetan. Los palos se acomodan de manera perpendicular y a la misma distancia para que se logren figuras regulares.

ICOSAEDRO ESTRELLADO

Este ha sido formado aplicando el modulo de Sonobe para hacer una demostración de los sólidos platónicos. Formado por 30 módulos, entrelazados de forma sencilla. Así como la experimentación de utilizar el mismo modulo para crear nuevas figuras. Es una herramienta sencilla y para utilizar la imaginación, encontrando nuevas formas a través de un solo paso.

MÓDULO DE SONOBE

El cubo Sonobe Cube fue descubierto alrededor de 1968 por el origamista Japonés Mitsonobu Sonobe y es uno de los pilares sobre los que se basa el desarrollo del origami modular. Hay muchas maneras de doblar el Sonobe.

La primera publicación del Sonobe que he encontrado está en el número 2 de las siete revistas que publicara el Sosaku Origami Group 67, fechada en el año 1968y fue probablemente publicada en el segundo semestre. En las pp. 10 y 11 hay instrucciones para construir una caja en forma de cubo formada por 6 módulos Sonobe. Ese mismo cubo aparece in libros posteriores de Sonobe y otros que hizo en colaboración con Toshie Takahama. El epígrafe del dibujo del modelo terminado dice en inglés: "Finished model By Sonobe Mitsunobu". Mas esto no responde la cuestión de si fue Sonobe quien creó el módulo, o simplemente creó el cubo usando un módulo preexistente

SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son un grupo de poliedro convexo o poliedros convexos cuyas Caras (Geometría) son polígonos regulares de dos o más tipos. Todos los sólidos de Arquímedes son de vértices uniformes. La mayoría de ellos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Arquímedes describió ampliamente estos cuerpos en trabajos que fueron desapareciendo, fue sólo en el renacimiento cuando artistas y matemáticos los redescubrieron.

Los sólidos arquimedinos son 13, que se listan a continuación:
1. Tetraedro Truncado
2. Cuboctaedro
3. Cubo Truncado
4. Octaedro Truncado
5. Rombicuboctaedro
6. Cuboctraedro Truncado
7. Cubo Romo
8. Icosidodecaedro
9. Dodecaedro Truncado
10. Icosaedro Truncado
11. Rombicosidodecaedro
12. Icosidodecaedro Truncado
13. Dodecaedro Romo