Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son un grupo de poliedro convexo o poliedros convexos cuyas Caras (Geometría) son polígonos regulares de dos o más tipos. Todos los sólidos de Arquímedes son de vértices uniformes. La mayoría de ellos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Arquímedes describió ampliamente estos cuerpos en trabajos que fueron desapareciendo, fue sólo en el renacimiento cuando artistas y matemáticos los redescubrieron.
Los sólidos arquimedinos son 13, que se listan a continuación:
1. Tetraedro Truncado
2. Cuboctaedro
3. Cubo Truncado
4. Octaedro Truncado
5. Rombicuboctaedro
6. Cuboctraedro Truncado
7. Cubo Romo
8. Icosidodecaedro
9. Dodecaedro Truncado
10. Icosaedro Truncado
11. Rombicosidodecaedro
12. Icosidodecaedro Truncado
13. Dodecaedro Romo
jueves, 25 de marzo de 2010
SÓLIDOS PLATONICOS
Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.
Reciben estos nombres en honor del filósofo griego Platón (ca. 427 adC/428 adC – 347 adC), al que se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.
Esta lista es exhaustiva, ya que es geométricamente imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad
Dentro de sus propiedades se encuentran las siguientes:
1. Regularidad
Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:
• Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
• En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.
• Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
• Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
• Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro.
2. Simetría
Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:
• Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
• Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
• Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.
Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:
• Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
• Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
• Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.
• Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.
3. Conjugación
Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.
4. Esquema
El Teorema de poliedros de Euler fija que el número de caras de un poliedro platónico más su número de vértices es siempre igual a su número de aristas más dos, es decir:
c + v = a + 2
Reciben estos nombres en honor del filósofo griego Platón (ca. 427 adC/428 adC – 347 adC), al que se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.
Esta lista es exhaustiva, ya que es geométricamente imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad
Dentro de sus propiedades se encuentran las siguientes:
1. Regularidad
Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:
• Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
• En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.
• Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
• Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
• Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro.
2. Simetría
Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:
• Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
• Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
• Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.
Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:
• Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
• Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
• Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.
• Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.
3. Conjugación
Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.
4. Esquema
El Teorema de poliedros de Euler fija que el número de caras de un poliedro platónico más su número de vértices es siempre igual a su número de aristas más dos, es decir:
c + v = a + 2
POP UP
Al diseño y creación de estos se le conoce como ingeniería de papel, un término que no debe confundirse con el término de la ciencia de la fabricación de papel. Es semejante en alguna medida al origami debido a que las dos artes emplean papel doblado. Sin embargo, el origami tiende a centrarse en la creación de objetos, mientras que los pop-ups tienden a ser esencialmente visuales y mecánicos en su naturaleza.
Se cree que el primer uso de los móviles mecánicos aparecieron en un manuscrito de un libro astrológico en 1306. El místico y poeta catalán Ramon Llull, de Mallorca, utilizó un disco rotatorio o volvelle para ilustrar sus teorías. A lo largo de los siglos los Volvelles se han utilizado para fines tan diversos como la enseñanza de la anatomía, para hacer predicciones astronómicas, la creación de códigos secretos y para decir la fortuna. En 1564 otro libro astrológico móvil titulado Cosmographia fue publicado por Petri Apiani. En los años siguientes, la profesión médica hizo uso de este formato, ilustrando libros de anatomía con capas y solapas que muestran el cuerpo humano. El diseñador de paisajes Ingleses Capability Brown hizo uso de solapas para ilustrar vistas "antes y después" de sus diseños.
Aqui les adjunto el link de un blog donde podran encontrar muchas ideas e inspirarse para realizar sus propias creaciones: http://www.librospopup.blogspot.com/
Se cree que el primer uso de los móviles mecánicos aparecieron en un manuscrito de un libro astrológico en 1306. El místico y poeta catalán Ramon Llull, de Mallorca, utilizó un disco rotatorio o volvelle para ilustrar sus teorías. A lo largo de los siglos los Volvelles se han utilizado para fines tan diversos como la enseñanza de la anatomía, para hacer predicciones astronómicas, la creación de códigos secretos y para decir la fortuna. En 1564 otro libro astrológico móvil titulado Cosmographia fue publicado por Petri Apiani. En los años siguientes, la profesión médica hizo uso de este formato, ilustrando libros de anatomía con capas y solapas que muestran el cuerpo humano. El diseñador de paisajes Ingleses Capability Brown hizo uso de solapas para ilustrar vistas "antes y después" de sus diseños.
Aqui les adjunto el link de un blog donde podran encontrar muchas ideas e inspirarse para realizar sus propias creaciones: http://www.librospopup.blogspot.com/
ESTRUCTURA LAMINARES
DEFINICIÓN: Son cuerpos en los cuales dos de sus dimensiones predominan sobre su espesor. Son aquéllas que actúan principalmente por su continuidad estructural y su forma.
CASCARAS: Son láminas curvas, convenientemente apoyadas en las que el equilibrio de las cargas externas se logra fundamentalmente por medio de esfuerzos normales y tangenciales.
ASPECTOS GEOMETRICOS Y ESTRUCTURALES
GEOMETRICOS: Una lámina es un elemento resistente de mucha superficie y poco espesor,
ESTRUCTURALES: Son elementos que resisten por forma. Suficientemente delgadas para no desarrollar importantes tensiones de flexión, corte o torsión.
Se sustentan porque sus esfuerzos internos son normales y tangenciales.
Las cáscaras trasladan las cargas que actúan sobre ellas, mediante esfuerzos normales de tracción y compresión, y esfuerzos tangenciales.
REQUERIMIENTOS PARA QUE SE CUMPLA EL ESTADO MEMBRANAL
• CONDICIONES DE CARGA
Deben ser, en lo posible, uniformemente distribuidas, no presentando variaciones bruscas en la superficie. No debe haber cargas puntuales.
• CONDICIONES DE GEOMETRIA
Que la variación de los radios de curvatura sobre la superficie sea continua. Debe haber continuidad de superficie y de curvatura
• CONDICIONES DE APOYO
Se apoyan en todos sus bordes, debe haber continuidad de apoyos. Los bordes deben ser tales que no restrinjan o impidan cada una de las deformaciones de la lámina.
FORMAS CLASICAS DE ESTRUCTURAS LAMINARES
1.-SIMPLE CURVATURA
Traslación: Cáscaras Cilíndricas.
Rotación: Cáscaras Cónicas.
2.-DOBLE CURVATURA TOTAL POSITIVA
Traslación : Cáscaras Elípticas
Revolución: Casquete esférico
3.-DOBLE CURVATURA TOTAL NEGATIVA
Traslación: Paraboloide Hiperbólico
Revolución: Hiperboloide de Revolución
Investigación realizada, para la mejor comprensión acerca de las técnicas anteriormente utilizadas.
CASCARAS: Son láminas curvas, convenientemente apoyadas en las que el equilibrio de las cargas externas se logra fundamentalmente por medio de esfuerzos normales y tangenciales.
ASPECTOS GEOMETRICOS Y ESTRUCTURALES
GEOMETRICOS: Una lámina es un elemento resistente de mucha superficie y poco espesor,
ESTRUCTURALES: Son elementos que resisten por forma. Suficientemente delgadas para no desarrollar importantes tensiones de flexión, corte o torsión.
Se sustentan porque sus esfuerzos internos son normales y tangenciales.
Las cáscaras trasladan las cargas que actúan sobre ellas, mediante esfuerzos normales de tracción y compresión, y esfuerzos tangenciales.
REQUERIMIENTOS PARA QUE SE CUMPLA EL ESTADO MEMBRANAL
• CONDICIONES DE CARGA
Deben ser, en lo posible, uniformemente distribuidas, no presentando variaciones bruscas en la superficie. No debe haber cargas puntuales.
• CONDICIONES DE GEOMETRIA
Que la variación de los radios de curvatura sobre la superficie sea continua. Debe haber continuidad de superficie y de curvatura
• CONDICIONES DE APOYO
Se apoyan en todos sus bordes, debe haber continuidad de apoyos. Los bordes deben ser tales que no restrinjan o impidan cada una de las deformaciones de la lámina.
FORMAS CLASICAS DE ESTRUCTURAS LAMINARES
1.-SIMPLE CURVATURA
Traslación: Cáscaras Cilíndricas.
Rotación: Cáscaras Cónicas.
2.-DOBLE CURVATURA TOTAL POSITIVA
Traslación : Cáscaras Elípticas
Revolución: Casquete esférico
3.-DOBLE CURVATURA TOTAL NEGATIVA
Traslación: Paraboloide Hiperbólico
Revolución: Hiperboloide de Revolución
Investigación realizada, para la mejor comprensión acerca de las técnicas anteriormente utilizadas.
MIURA
El miura, o más específicamente ori miura, es un doblez que tiene su nombre por su autor, un astrofísico japonés que desarrolla un sistema de plegado para el transporte de páneles al espacio. Las aplicaciones tecnológicas son evidentes; pero las aplicaciones al diseño y al arte llegan hasta el diseño de muebles hasta cubiertas para hangares, pasando por el diseño de modas. Durante el mes de noviembre.
Recientes investigaciones (del 2009), nos han llevado a asegurar que el trabajo de Kioro Miura es más un descubrimiento y aplicación novedosa antes que un invento. La evidencia está en el libro Complete Origami de Erick Kenneway (pp 177), en donde se muestra a David Devant, en una foto de 1896, con un abanico en el entonces no denominado Miura sino troublewit, su utilización, ¡en trucos de magia! Algunos de estos trucos se presentan con una historia, en la que durante el relato, las formas de papel se transforman ante la audiencia, la magia son solamente las diferentes posibilidades del papel. Se cree que este tipo de magia (luego de doblez) proviene de principios del siglo XVIII, y hasta mediados del siglo XVII.
Este trabajo consta de dobleces que se emplean en 2 ejes (x, y) con medidas iguales, los cuales generan una tercera dimensión. Este tipo de sistema proporciona estabilidad, rigidez y resistencia si los dobleces se encuentran a menor distancia, si sucede al contrario la estructura será frágil. Además se puede jugar con la forma curva, logrando propuestas interesantes.
ISOAXIS
El isoaxis (patente USA nº 3302321) es una red geométrica que desarrollo el volumen llamado caleidociclos. Fue descubierta por Wallace Walker en 1958, cuando trabajaba en un proyecto cuyo objetivo era lograr configuraciones estructurales para el papel...
El trazo inventado por Walker es más que ese primer anillo, más tarde, generaría junto con Schattchneider todo un catálogo de calidociclos, forma geométrica tridimensional resultado de plegar la isoaxis. Esta palabra es un neologismo que quiere decir en griego "figura bella anular" (consideramos pertinente la traducción forma bella que gira, por sus características y función), presentado en M.C. Escher Caleidociclos (1977). En este texto se presentan distintos caleidociclos: el hexagonal, el estrellado, el oblicuo y el cuadrado, todos resultados de variaciones de la red isoaxis. Schattsneider realizó el trabajo de insertar la obra del grabador holandés a la red isoaxis, su labor es más que una decoración o adaptación, se trata de un estudio geométrico - matemático explicado en el libro.
Se sabía ya de interesantes sólidos a partir de tetraedros unidos, pero la enorme visión y habilidad de Wlaker reside en la generación de toda la estructura giratoria a partir de una retícula bidimensional simple y sus diagonales. La elegancia del trazo no deja de sorprender.
La isoaxis parece el antecedente natural del Miura ori, pero desconocemos si el astrofísico japonés Kioro Miura conocía de la isoaxis al desarrollar sus plegados.
Nuestra resolución de la isoaxis fue mantener el trazo cruzado desechando, el trazo vertical, para así mismo dar pie a las estructuras laminares y al miura. Con tratamiento en los ejes (x, y). Las medidas empleadas en los ejes deberán ser iguales y se trazarán en forma diagonal, para lograr crear una red. Las líneas al ser dobladas generan textura que se puede apreciar de forma visual y táctil.
The Beginning
Nuestro primer trabajo en clase fue una aplicación arquitectónica, o de diseño gráfico o industrial en dobleces sencillos
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